Hay cosas extrañas en la naturaleza, y tal vez la más extraña sea que las maravillas de las matemáticas puedan ser concebidas por animales tan parecidos a los simios.
Eric Temple Bell, Matemático e Historiador de las Matemáticas (1883-1960)
Algunos años antes de que fuera decapitado, el estadista británico Sir Walter Raleigh (sí, el mismo que el de los cigarros) tenía en mente algunos otros problemas de índole más práctica. Raleigh tenía a su disposición algunos barcos con los cuales se aventuró, en su momento, hasta lo que ahora es Venezuela en búsca de El Dorado (de hecho, escribió un libro al respecto). Conocedor de los piratas y corsarios que navegaban con patente de corso en las rutas entre el Nuevo y el Viejo Mundo en busca de oro fácil en las bodegas de los galeones, Sir Walter Raleigh quería saber si podía hallarse una manera de acomodar el mayor número de balas de cañón en el menor espacio posible.
Para contestar semejante pregunta, echó mano de su asistente en matemáticas (también ayudaba con la contabilidad y el diseño de los barcos), el astrónomo graduado de Oxford, Thomas Harriot. Conforme probaba con diferentes configuraciones de acomodo tridimensionales, Harriot se dio cuenta que quizás la tarea de averiguar qué acomodo de las balas de cañón de entre todas las posibles configuraciones era la que mayor densidad de empaquetamiento mostraba no era tan trivial como cabría esperarse. Hasta el momento (circa 1591), Harriot había hallado dos configuraciones prometedoras por ensayo y error: el arreglo piramidal (tecnicamente conocida como disposición cúbica centrada en las caras) y el hexagonal.
Como buen matemático, no bastaba con mostrar algunos ejemplos donde se pudieran apilar más balas de cañón en una configuración que en otra: había que demostrar matemáticamente que, de todas las infinitas posibilidades de acomodo, existía una que era la mejor. Había que ser exhaustivo, no dejar espacio para la duda. Después de todo, cualquiera que tuviera un puesto de frutas sabía que arreglar las naranjas en forma de pirámide es muy eficiente. Pero ¿no podría existir otra forma más eficiente?
Sintiendo que debía rebotar sus ideas sobre este problema con alguién más, a inicios del siglo XVII Harriot le escribió a Johannes Kepler, quien acaba de demostrar que los planetas se movían en órbitas elípticas y no circulares, lo cual estaba revolucionando la astronomía, por decir lo de menos. Para 1611, Kepler termina escribiendo un ensayo que tituló “Sobre el copo de nieve de seis lados”, el cual fue un regalo de navidad para su mecenas, John Wacker de Wackenfels (en ese tiempo se acostumbraba demostrar con trabajos tangibles en qué se invertía el dinero en cuanto a ciencia; compartir ideologías podía no ser suficiente). Lo que venía a decir Kepler sobre los copos de nieve era que estos tenían una estructura única, hexagonal, que, a pesar de las distintas condiciones climáticas (por ejemplo, viento, temperatura, humedad) con las que podía encontrarse la semilla del copo de nieve mientras descendía de los cielos e iba creciendo, siempre se tendría un copo de nieve con seis lados. Quizá no se dio cuenta que, con este trabajo, Kepler no sólo estaba sentando las bases de lo que hoy llamamos cristalografía (es decir, cómo se acomodan y crecen las partículas hasta formar cristales) sino también sembrando el formalismo matemático de lo sería la química inorgánica y orgánica.
Es aquíi donde la pregunta que había hecho Sir Walter Raleigh–y trasladada a lenguaje matemático por Harriot, y luego compartida a Kepler–resuena con lo que estaba investigando Kepler: ¿cómo se dispone y autoorganizan las partículas en el espacio, como por ejemplo el copo de nieve? En general, ¿cuál es la manera más eficiente de organizar partículas tal que ocupen el menor volumen posible?
Al considerar a las partículas como esféricas, y apilarlas unas con otras en alguna configuración, siempre existirán huecos entre ellas. La idea es lograr un acomodo que minimice lo más posible estos huecos. Kepler dejó por un momento el papel y el lápiz, y puso manos a la obra. Al igual que Raleigh, Kepler construyó varios acomodos utilizando esferas y calculó la eficiencia de empaquetado de cada configuración.
Diríamos que casi intuitivamente el primer acomodo que estudió fue el de la malla cúbica centrada en la caras, es decir, la que encontramos en las fruterías cuando apilan las naranjas en forma piramidal. La eficiencia de empaquetamiento resultó ser del 74%. En otras palabras, si decidiéramos ocupar el volumen de una caja con las naranjas, el acomodo en forma piramidal ocuparía un 74% de la caja. En segundo lugar, de acuerdo con Kepler, el acomodo que proporciona un 60% de eficiencia en el empcaquetado es el acomodo hexagonal; en tecer lugar, con un 53% de eficiencia en el empaquetado fue el arreglo de malla cúbica.
Kepler probó con otras configuraciones (muchas quizás), y en base a sus cálculos y observaciones realizadas se atrevió a conjeturar que el acomodo en forma piramidal era el mejor de todos los posibles… pero no ofreció ninguna demostración matemática. Sin demostración siempre estaría agazapada la duda sobre si no existiría algún otro acomodo con una eficiencia de empaquetado mayor que el propuesto por Kepler.
Y así nos quedamos con la duda a lo largo de 289 años, cuando David Hilbert, durante el Congreso de Matemáticos de 1900 en París, enlistó 23 problemas que merecían la atención de las mejores mentes matemáticas: el número 18, dividido en tres partes, hacía referencia a la conjetura de Kepler. Pasarían 98 años después del Congreso en París y el listado de Hilbert, cuando Thomas Hales, en medio de cierta polémica por haber usado para su demostración el poder de cálculo de una computadora, publicó en la revista Annal of Mathematics, la comprobación de la conjetura de Kepler. Hales hizo una demostración por casos, en los que probó distintos agrupamientos mediante cálculos por computadora, llegando a formular una ecuación de 150 variables que recogía 5 mil posibles agrupamientos de esferas idénticas. Kepler tenía razón: el acomodo más eficienciente de empaquetar esferas es la forma piramidal.
Pero la conjetura de Kepler era para esferas en 3 dimensiones. ¿Qué sucede cuando se formula la misma pregunta del empaquetamiento de esferas pero para dimensiones superiores a tres? ¿Cuántos siglos tendremos que esperar para ver resuelta la conjetura de Kepler para dimensiones superiores? ¿Se requerirá de Inteligencia Artificial para guiarnos en ese bosque de abstracciones que suponen las dimensiones mayores a tres?
No. Al menos para el caso de 8 y 24 dimensiones.
El pasado 5 de julio se anunciaron a los premiados con la Medalla Fields, que se entrega cada 4 años, y es considerada como el verdadero premio Nobel de las matemáticas. Entre los premiados se encuentra la matemática asociada a la Escuela Politécnica Federal de Lausana, en Suiza, Maryna Viazovska. Se trata de la segunda mujer en recibir el galardón desde su creación en 1936.
En 2016 Maryna demostró la conjetura de Kepler para el caso de 8 dimensiones primero y, posteriormente, hallando propiedades de simetría entre 8 y 24 dimensiones, también aseguró el resultado para el caso de 24 dimensiones. Así que ahora, gracias al trabajo de Maryna, sabemos con certeza absoluta, y sin necesidad de invocar cantidades enormes de cálculos computacionales, cuáles son las mejores configuraciones para “apilar” esferas en 8 y 24 dimensones.
Los resultados demostrados para 8 y 24 dimensiones están abriendo la puerta para resolver otros problemas de manera más fácil de lo que se esperaba. Algunos problemas que se beneficiarían del avance matemático de Maryna, por el momento, son los códigos de corrección de errores en los teléfonos celulares, envío de información en internet a través de canales ruidosos, mientras nos seguimos preguntando por la “irrazonable efectividad de las matemáticas”.
