Sólo hay una cosa que es más inexplicable que la inexplicable eficacia de las matemáticas en física, y es su inexplicable ineficacia en biología.
Israel Gelfand, Matemático (1903-2009).
En aquel momento descubrí algo sobre la biología: era muy fácil encontrar una pregunta que fuera muy interesante y que nadie supiera contestar.
Richard Feynman (1918-1988), Premio Nobel de Física 1965.
Es curioso cómo recurrimos naturalmente a algunos objetos geométricos cuando queremos dibujar un objeto o explicar un espacio a otra persona. Comenzamos con figuras geométricas simples, utilizándolas como un adamio para construir objetos más complejos o detallados. Podríamos decir que los triángulos, cuadrados y círculos nos sirven, en primera instancia, para capturar la esencia detrás de un objeto; después, vendrán los detalles “finos”. También, de manera natural, podemos aumentar una dimensión a las figuras geométricas, dotándolas de “volumen”; ahora el triángulo es un tetraedro (pirámide), el cuadrado un cubo, el círculo una esfera, y así sucesivamente. Y con estos sólidos pareciera que podemos construir todo el mundo físico. O gran parte de él.
Así, pues, no es de extrañarnos que en la antiguedad clásica, específicamente los pitagóricos, estuvieran fascinados con ciertos sólidos o poliedros (“de muchas caras”, en griego) regulares, es decir, objetos geométricos tridimensionales simétricos cuyas caras son siempre un polígono (“de muchos ángulos”) regular. A pesar de que puede existir un número infinito de polígonos regulares, sólo existen cinco sólidos regulares: tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Este hecho, aunque a veces se le atribuye a los pitagóricos, es más probable que haya sido demostrado por Teeeto, un matemático contemporáneo a Platón (de hecho, a los cinco sólidos regulares también se les conoce como sólidos platónicos).
De acuerdo con los pitagóricos, los primeros cuatro sólidos regulares estaban relacionados con los “cuatro elementos” que constituían el mundo: tierra, fuego, aire y agua. Y el quinto sólido regular, el dodecaedro (sólido con doce pentágonos en sus caras), lo relacionaron místicamente con el Cosmos, representando la sustancia de la que estaban hechos los cuerpos celestiales (de allí el orígen de la palabra quintaesencia). Los sólidos platónicos proporcionaban una percepción de regularidad, perfección y orden en un Universo caótico.
Y esta idea de orden y perfección en el Universo que parecía estar contenida en los sólidos platónicos capturó la mente–por no decir la fe– de un astrónomo más de un milenio después: Johannes Kepler.
A finales del siglo XVI Kepler estaba revolucionando la astronomía con sus cálculos detallados que echaban por tierra la idea de que los planetas se movían en órbitas circulares cuando en realidad era elípticas. En ese entonces, sólo se tenía conocimiento de (los primeros) seis planetas, y Kepler pensaba que existía una conexión entre los cinco sólidos platónicos y los planetas. De hecho, creía fervientemente que la razón de que sólo existieran seis planetas y cinco sólidos regulares era que, si se anidaban estos sólidos uno dentro de otro, y a su vez dentro de esferas (es decir, los planetas), las distancias entre los sólidos platónicos y las esferas definirían las distancias entre el Sol y cada uno de los planetas. Este andamiaje invisible, perfecto, en el que parecía descansar la dinámica celestial no podía tratarse más que de una obra divina, pensaba Kepler. La conexión y acomodo entre los sólidos platónicos y los planetas tenía que ser forzosamente obra de la Mano de Dios, el Geómetra: “La Geometría existía antes de la Creación. Es co-eterna con la Mente de Dios… La Geometría ofreció a Dios un modelo para la Creación… La Geometría es Dios mismo”.
Las palabras de Kepler también nos invitan a preguntarnos qué hay detrás de las formas, de la geometría que reconocemos en la Naturaleza. Uno de los ejemplos que más ha cautivado la atención de los científicos es la geometría hexagonal en los panales de las abejas. ¿Por qué un hexágono y no otra forma geométrica? ¿Por qué las abejas “eligieron” precisamente esa forma de entre las infinitas posibilidades? Aunque se sabe que no se puede cubrir una superficie usando únicamente pentágonos, ¿qué mecanismo subyacente es el que “instruye” a las abejas a construir celdas hexagonales?
Kepler mismo había hablado un poco al respecto de la geometría hexagonal que se hallaba en los copos de nieve. Pero ¿las fuerzas involucradas en la formación de los hexágonos en los copos de nueve también eran las mismas que en la formación de las celdas en los panales de abeja? ¿Sí, no? ¿Por qué?
En su obra Sobre el crecimiento y la forma, D’Arcy Thomson–biólogo y matemático escocés–aborda la cuestión de la geometría hexagonal en los panales de las abejas, observando que se presentan fenómenos de tension superficial en la cera líquida y caliente que conducen a la formación de hexágonos, reduciendo de esta manera el área superficial: mayor almacenamiento de miel utilizando menos cera.
La solución que han hallado las abejas nos recuerda un poco al problema del empaquetamiento más eficiente de esferas en tres dimensiones que mencioné la semana pasada a propósito de la entrega de la medalla Fields: la conjetura de Kepler que los matemáticos tardaron cerca de 400 años en demostrar—no sin antes solventar algunas controversias. A pesar de que la conjetura de Kepler surgió de un problema más bien práctico, y ajeno a la biología, esto no implica que la solución (y los métodos utilizados para llegar a la solución de la conjetura) no sean aplicables a problemas o cuestiones biológicas. Todo lo contrario. Por ejemplo, está reportado que la densidad de empaquetamiento de las células de levadura maduras es de aproximadamente un 78%, un valor no muy lejano del 74% establecido por la conjetura de Kepler. De hecho, la desviación del porcentaje predicho por la conjetura de Kepler se atribuye a que las células no tienen una geometría completamente esférica.
Lo anterior espolea la siguiente pregunta: ¿Cuál será la figura geométrica que mejor describe el empaquetamiento de las células en el cuerpo humano, por ejemplo? ¿Habrá que considerar una geometría para cada tipo de células? ¿O más bien será una combinación de las geometrías descritas por los sólidos platónicos?
En 2018 un grupo de biólogos, físicos, matemáticos y científicos computacionales publicó un trabajo en el que echaron por tierra la creencia de que las celular epiteliales (células que ayudan a proteger nuestros órganos; se encuentran en la piel, vasos sanguíneos, por ejemplo) se construían a través del empaquetamiento de prismas o pirámides truncas. Después de analizar concienzudamente las gándulas salivales de la humilde mosca de la fruta, se valieron de los diagramas de Voronoi para modelar primero en dos dimensiones las células, como para ir sondeando el terreno. Al extender la metodología a tres dimensiones, los científicos terminaron con un sólido geometrico que no existía anteriormente en el campo de las matemáticas, al que bautizaron como “escutoide”, un poco en honor al apellido del líder del estudio.
Clara Grima, matemática de formación y una de las autoras del estudio define al escutoide como un “sólido geométrico entre dos capas paralelas de tal forma que la intersección del escutoide en cada una de las dos capas (y en el resto de las capas intermedias también) son polígonos (lo que serían las ‘tapas’ del escutoide). Los vértices de estos dos polígonos están unidos por una curva o por una conexión en forma de Y.” Los escutoides no sólo se hallan en las células de la mosca de la fruta, sino también en las células del pez cebra, lo cual abre la puerta a seguir explorando otro tipo de células utilizando la misma metodología.
Este descubrimiento nos pone a pensar en los recientes avances en impresión 3D con materiales “bioamigables”, los cuales podrían ser utilizados para reparar o suplir tejidos dañados ahora que se conoce la geometría que siguen las células para cubrir la superficie de ciertos órganos.
Han transcurrido milenios desde la formulación de los sólidos platónicos y la creencia de su relación con el (macro)Cosmos. Quizá ahora sea tiempo de que estos sólidos geométricos llamados escutoides nos abran la puerta al (micro)Cosmos.
